Lehmann primality test

Lehmann test is a primality test – it determines whether the given integer is composite or a prime.

Description

Little Fermat's theorem states that for every prime p it holds that

{a^{p-1} \\equiv 1 \\bmod p}

Hence it also holds

{a^{p-1} -1 \\equiv 0 \\bmod p}

If we use the formula A^2 - B^2 = (A - B) \\cdot (A + B) to expand the expression, we get

 a^{p-1} -1 = (a^{(p-1)/2} - 1) \\cdot (a^{(p-1)/2} + 1)

From divisibility of numbers, we know

 {p \\mid (x \\cdot y)} \\: \\Rightarrow \\: {(p \\mid x)} \\vee {(p \\mid y)}

So, if the equation {a^{p-1} -1 \\equiv 0 \\bmod p} holds, than one of the following conditions must also hold

{a^{(p-1)/2} - 1 \\equiv 0 \\bmod p}  \\:\\:\\: \\Rightarrow \\:\\:\\: {a^{(p-1)/2} \\equiv 1 \\bmod p} \\:\\:\\: \\Rightarrow \\:\\:\\:  a^{(p-1)/2} = 1 \\;\\; in \\;\\; Z_{p}
{a^{(p-1)/2} + 1 \\equiv 0 \\bmod p}  \\:\\:\\: \\Rightarrow \\:\\:\\: {a^{(p-1)/2} \\equiv -1 \\bmod p} \\:\\:\\: \\Rightarrow \\:\\:\\: a^{(p-1)/2} = -1 = p - 1 \\;\\; in \\;\\; Z_{p}

Finally, provided that

a^{(p-1)/2} = 1 \\;\\; in \\;\\; Z_{p} \\quad \\; \\vee \\; \\quad a^{(p-1)/2} = -1 = p - 1 \\;\\; in \\;\\; Z_{p}

than p may be a prime. In any other case p is a composite number, because it contradicts the Little Fermat's theorem. It can be shown that every iteration of Lehmann test eliminates at least fifty percent of composite numbers.

Probability that the number is a prime after k iterations of Lehmann test can be expressed as

p = 1 - {1 \\over 2^{k}}

www.EuAutodily.cz SEO od společnosti Digital Pylon


Online casino s algoritmem

České casino online online slot-vegas.cz





Zajímavé články: Jak najít práci snů? Zvolte kariéru v IT!, Češi mají rádi hrací automaty online, Jak funguje algoritmické obchodování Casino, Online výuka Algoritmus a online marketing mají svá pravidla, Automaty, Matematický vliv, Ratings, Jak fungují algoritmy hazardních her online: více znalostí, více peněz, SYPWAI - nástroj pro vědecký vývoj, Vynikají na globálním trhu: Nejlepší vývojáři softwaru pro online výherní automaty, Jak si vybrat nejlepší české online casino, Proč byste měli hrát online casino VPN revoluce, Kde najdeme algoritmy v každodenním životě?