Nechť má funkce f = f(x, y) spojité parciální derivace v bodě a pak lze její tečnou rovinu v tomto bodě vyjádřit jako


z = f(a) + {{\\partial f} \\over {\\partial x}}(a) \\cdot (x - a_{1}) + {{\\partial f} \\over {\\partial y}}(a) \\cdot (y - a_{2})

Příklad

Spočtěte rovnici tečné roviny ke grafu f(x, y) = 6xy^2 -2x^3 -3y^3 v bodě a = (1, -2).

Tečná rovina grafu f
Tečná rovina grafu f

Definičním oborem funkce je množina \\mathbb{R}^2 a funkce má spojité parciální derivace ve všech bodech této množiny.

Nejprve vypočítáme funkční hodnotu f(a).

f(a) = 6 \\cdot 1 \\cdot 4 - 2 + 3 \\cdot 8 = 46

Nyní zjistíme parciální derivace funkce.

{{\\partial f} \\over {\\partial x}} = 6y^2 - 6x^2
{{\\partial f} \\over {\\partial y}} = 12xy - 9y^2

Vypočteme funkční hodnoty parciálních derivací v bodě a.

{{\\partial f} \\over {\\partial x}} (a) = 6 \\cdot 4 - 6 \\cdot 1 = 18
{{\\partial f} \\over {\\partial y}} (a) = 12 \\cdot 1 \\cdot (-2) - 9 \\cdot 4 = -24 - 36 = -60

Nakonec dosadíme do vzorečku.

z = 46 +18 \\cdot (x-1) - 60 \\cdot (y+2)







Doporučujeme